Obliczanie odchylenia standardowego projektu

Po przeczytaniu tego artykułu dowiesz się o obliczaniu odchylenia standardowego projektu.

W PERT trzy szacunki czasowe są wykorzystywane do znalezienia oczekiwanego czasu zakończenia działania, a następnie, przez proces odchylenia standardowego i wariancji, znajdujemy prawdopodobieństwo całkowitego szacowanego czasu trwania projektu ukończenia wszystkich działań, a zatem projekt. PERT podąża za krzywą rozkładu beta, aby ustalić odchylenie standardowe, które stanowi jedną szóstą zakresu.

Kroki podjęte w celu obliczenia odchylenia standardowego całkowitego czasu trwania projektu są następujące:

(a) Znajdź ścieżkę krytyczną z oszacowaniami czasowymi, a następnie zidentyfikuj działania na ścieżce krytycznej.

(b) odchylenie standardowe na aktywność (symbol używany S _t ):

S _t = t _p -t _o / 6

(która jest jedną szóstą zakresu czasu oszacowanego, a zakres oszacowania czasu jest różnicą między optymistycznymi i pesymistycznymi szacunkami czasu).

(c) Oblicz wariancję na symbol aktywności użyty jako V _t i V _t = S _t ² = (t _p -t _o / 6) ²

(d) Znajdź odchylenie standardowe całkowitego czasu trwania projektu jako SD = √Suma wszystkich V _t (reprezentujących całkowitą wartość t _e-s dla wszystkich zdarzeń na ścieżce krytycznej).

Ilustracja 1 (o prawdopodobieństwie w PERT):

Zanim przejdziemy dalej, możemy rozpocząć pracę, stosując tę ​​samą ilustrację jak w poniższej tabeli i korzystając z powyższych formuł:

CP reprezentuje aktywność na ścieżce krytycznej:

1. Oczekiwany czas trwania projektu E = 5 + 15 + 4 + 5 = 29 dni (tj. Suma t _e-s dla działań na Ścieżce Krytycznej).

2. Wariacja ścieżki krytycznej = 2, 79 + 2, 79 + 0, 45 + 0 = 6, 03

3. Odchylenie standardowe (SD) czasu trwania projektu wynosi √6.03 = 2.46.

Widzieliśmy wcześniej, że t ma prawdopodobieństwo 0-5, a prawdopodobieństwo to ma zastosowanie nawet w sytuacji kumulacji, dopóki nie dojdziemy do zdarzenia końcowego. Jest to ważne nawet wtedy, gdy gromadzimy t-ki wszystkich poprzednich zdarzeń i nadal możemy podać prawdopodobieństwo jako 0, 5 dla łącznego czasu, jak na tym zdarzeniu. Kiedy mówimy, że oczekiwany czas trwania projektu jako T _E, uważamy T _E za średnią rozkładu z prawdopodobieństwem 0-5.

Na podstawie powyższych obliczonych szczegółów PERT sugeruje, aby obliczyć odchylenia od średniej rozkładu w jednostkach odchylenia standardowego i odczytać prawdopodobieństwo z tabeli rozkładu normalnego.

Gdy chcielibyśmy znaleźć prawdopodobieństwo zaplanowanej daty docelowej Ts, PERT opracowuje T _E i SD, jak już wyjaśniono, a następnie dowiaduje się, ile T _s jest odchylone od średniej rozkładu (T _E ) w jednostkach odchylenia standardowego ( SD). Już opracowaliśmy Ts i SD zilustrowanych rzutowanych szczegółów na stole.

Po PERT możemy odpowiedzieć na pytania takie jak:

(a) Jakie jest prawdopodobieństwo ukończenia projektu przez (1) 29 dni, (2) 32 dni, (3) 27 dni?

(b) W ilu dniach projekt można ukończyć z prawdopodobieństwem 95%?

Kroki, które należy podjąć, to:

Krok 1.

Oblicz przewidywany czas t na aktywność według wzoru t _{e =} t _{o +} 4 t _{m +} t _p / 6

Po obliczeniu, narysuj sieć i znajdź ścieżkę krytyczną oraz przewidywany czas trwania projektu, T _E.

Krok 2.

Obliczyć (a) standardowe odchylenie na aktywność odpowiadające jednej szóstej zakresu szacowanego czasu, tj. S _t = t _p - t _o / 6, a następnie

(b) Wariancja na aktywność krytyczną, tzn. S _t ² = (t _p - t _o / 6) ²

(c) i standardowe odchylenie projektu, SD, pierwiastek kwadratowy z sumy wariancji wszystkich krytycznych czynności: SD = √Suma S _t ² krytycznych czynności. (SD = 2, 46 na powyższej ilustracji).

Krok 3;

Obliczyć odchylenie zaplanowanej daty T _s od średniej rozkładu, tj. T _E w jednostkach SD. Wartość takiego odchylenia wynosi Z, a formułą do obliczenia jest, Z = T _S -T _E / SD.

Krok 4:

Z wartości Z i sprawdzając normalną tabelę dystrybucji (częściowo cytowaną w dalszej części tego rozdziału w 6.1.03) znajdujemy kolejną wartość, którą musimy skorygować za pomocą 0-5 (średnia rozkładu) i znaleźć prawdopodobieństwo T _s .

Krok 5:

Korekta z 0-5 zależy od czasu dla T _s i T _e . Oczywiście, gdy T _s > T _E prawdopodobieństwo jest większe niż 0-5; dlatego dodajemy wartość odczytaną z normalnej tabeli dystrybucji i kiedy T _E > T _s mamy odjąć od 0-5.

Odpowiedz na pytania:

1. a-1) Jakie jest prawdopodobieństwo ukończenia projektu o 29 dni, gdy T _s wynosi 29 dni?

Z = T _S -T _E / SD = 29-29 / 2, 46 = 0 wartość z normalnej tabeli rozkładu dla 0 wynosi zero.

Dlatego prawdopodobieństwo ukończenia projektu o 29 dni = 0, 5 + 0 = 0, 5, czyli 50%.

2. a-2) Kiedy T _s wynosi 32 dni

Z = T _S- T _E / SD = 32-29 / 2, 46 = 1, 22; wartość z rozkładu normalnego dla 1, 22 wynosi 0, 39.

T _s jest większe niż T _E, zatem prawdopodobieństwo wynosi 0-50 + 0-39 = 0-89 lub 89% (lub prawdopodobieństwo nie osiągnięcia daty wynosi 100 - 89 = 11%)

3. a-3) Kiedy T _s wynosi 27 dni

Z = T _S- T _E / SD = 27-29 / 2, 46 = - 0, 81; wartość przeciw 0, 81 z tabeli rozkładu normalnego 0, 29. T5 jest mniejsze niż T _E, zatem prawdopodobieństwo wynosi 0-50 - 0-29 = -21 lub 21%.

(b) W ilu dniach projekt można ukończyć z prawdopodobieństwem 95% (lub z poziomem ufności 95%)?

Zakładamy, że T _s to nieznana liczba dni, a ponieważ prawdopodobieństwo jest większe niż 0-50 (tj. Więcej niż 50%), T _s musi być większe niż T _E (w liczbie dni), a wartość na tabelę wynosi 0, 95. - 0, 50 = 0, 45. Z tabeli również wynika, że ​​możemy uzyskać 0-45, gdy wartość Z wynosi 1, 65 (0, 4505).

T _s - 29

Teraz znajdujemy równanie Z = T _S -29 / 2, 46 = 1, 65

lub, T _s = 29 + 2, 46 x 1, 65 = 33 dni.

Możemy powiedzieć z 95-procentową pewnością, że projekt zostanie ukończony za 33 dni.

Ilustracja 2 na temat prawdopodobieństwa według PERT :

Poniżej znajduje się tabela działań projektu o szacunkowym optymistycznym, najbardziej prawdopodobnym i pesymistycznym czasie trwania (w dniach):

Z danych szczegółowych, jak na powyższej tabeli, należy:

(a) Narysuj sieć projektu;

(b) znaleźć ścieżkę krytyczną;

(c) Oblicz wariancję ścieżki krytycznej;

(d) Znajdź prawdopodobieństwo ukończenia projektu (po krytycznej ścieżce) w 41 dni.

Krok 1: Oblicz szacunkowy czas t na aktywność według PERT:

Budowa sieci z t _e-s i ścieżką krytyczną.

Odpowiedz na pytania (c) i (b).

Legenda (sieć):

Legendy (2) Ścieżka krytyczna pokazana za pomocą dwurzędowych strzałek łączących zdarzenia pokazujące EST = LFT.

(3) Ścieżka krytyczna reprezentuje działania A, C, G i I.

(4) Czas trwania projektu, T _E wynosi 36 dni.

Krok 2. Obliczenia

(a) odchylenie standardowe czasu trwania czynności, S _t = t _p -t _o / 6;

(b) Odchylenie działań S, ² od ścieżki krytycznej; Łącznie wariancji ścieżki krytycznej = 25.

Odpowiedz na pytanie (c).

Odchylenie standardowe czasu trwania projektu (zrobienie zdjęcia)

SD = √Total Wariancja wszystkich krytycznych czynności

= √25

= 5

Krok 3:

Odchylenie daty harmonogramu, T _s (które jest podane jako 41 dni) w jednostkach SD to Z i

Z = T _S -T _E / SD

Lub

Z = 41-36 / 5 = 1

Krok 4:

Normalna tabela dystrybucji pokazuje wartość 1 jako 0-3413. Znamy TE 36 dni jako prawdopodobieństwo 0, 5., T _s 41 dni jest większe niż T _E, mamy dodać 0.3413 z 0.5 i znaleźć prawdopodobieństwo 41 dni jako 0, 50 + 0, 34 = 0, 84 lub 84%.

Ilustracja 3: (na podstawie prawdopodobieństwa według PERT):

Poniżej znajduje się tabela działań projektu o szacunkowym optymistycznym, najbardziej prawdopodobnym i pesymistycznym czasie trwania w tygodniach:

Biorąc pod uwagę powyższe dane, mamy :

(a) Narysuj sieć projektu;

(b) Zidentyfikuj krytyczną ścieżkę w sieci;

(c) Znajdź prawdopodobieństwo ukończenia projektu w ciągu 32 tygodni;

(d) Znajdź szacowane tygodnie ukończenia z prawdopodobieństwem 90%.

Krok 1:

Aby obliczyć przewidywany czas aktywności według PERT:

. ^. . Odchylenie standardowe SD = √6, 83 = 2, 61

W związku z powyższym t _e- i działaniami z precedensowym relacją wydarzeń chcielibyśmy przygotować konstrukcję sieci, a następnie znajdziemy:

1. EST zdarzeń, zaczynając od zdarzenia (1) jako zero EST, a następnie postępując zgodnie z regułą przekazania w przód, biorąc pod uwagę najdłuższy czas EST, gdy dwie lub więcej aktywności zbiegają się do jednego zdarzenia, aż dojdziemy do ostatniego zdarzenia.

2. LFT wydarzeń, począwszy od ostatniego zdarzenia, ostatnie zdarzenia LFT jest takie samo jak jego EST. Następnie wykonaj "backward pass" i znajdź LFT zdarzenia ogona (jako LFT zdarzenia head, mniej t _ij ) i, biorąc pod uwagę najkrótsze jednostki czasu, kiedy dwie lub więcej aktywności emanują z jednego zdarzenia.

Rozwiązanie problemu (a) i (b) rysowanie sieci projektu i znajdowanie ścieżki krytycznej:

Podsumowanie elementów czasu w budowie sieci:

(1) EST dla zdarzenia 4: aktywności C, E i H zbiegają się z C dla 0 + 9 = 9 tygodni, E dla 7 + 9 = 16 tygodni i H dla 8 + 7 = 15 tygodni. Dlatego bierzemy najwyższą, czyli 16.

(2) LFT dla zdarzenia 2: działania E i F pochodzą z powrotu z zdarzenia 4, LFT dla 2 wynosi 16 - 9 = 7, a dla zdarzenia 6 LFT dla 2 wynosi 23, 5 - 5 = 18, 5. Dlatego bierzemy najniższą, czyli 7.

Uważamy, że zdarzenia 1, 2, 4, 5, 6 i 7 mają EST = LFT i jako takie są zdarzeniami krytycznymi, a strzałki dwukierunkowe pokazane w sieci reprezentują Ścieżkę Krytyczną z działaniami A, E, I, J i L; całkowity czas trwania projektu wynosi 28 tygodni, tj. T _E wynosi 28 tygodni.

Rozwiązanie pytania (c), aby znaleźć prawdopodobieństwo ukończenia projektu w ciągu 32 tygodni.

Krok 2:

Obliczanie czasu trwania:

(a) Odchylenie standardowe czasu trwania działań S _t = t _p- t _o / 6 na ścieżce krytycznej oznaczonej CP.

(b) Suma odchyleń na Ścieżce Krytycznej = 6-83

(c) Odchylenie standardowe w czasie trwania projektu = √6-83 = 2, 61

Krok 3:

Odchylenie zaplanowanej daty T _s (która wynosi 32 tygodnie) w jednostkach SD to Z i wartość:

Z = T _S- T _E / SD = 32 - 28 / 2, 61 ₌ 1, 53

Wartość 1-53 na normalną tablicę rozdzielczą = 0-4370 = 0-44 (w przybliżeniu).

Krok 4:

Mamy dodać 0-44 z 0-5; ponieważ 32 dni to więcej niż średni czas trwania projektu wynoszący 28 tygodni, mamy dodać np. 0, 50 + 0, 44 = 0, 94.

. ^. . Prawdopodobieństwo ukończenia projektu w ciągu 32 dni wynosi 94%.

Rozwiązanie pytania (d):

Znajdź czas trwania projektu z prawdopodobieństwem 90%. T _s to nieznany harmonogram projektu, to więcej niż T _E, ponieważ prawdopodobieństwo 90% jest większe niż prawdopodobieństwo 50%. Wartość do skorygowania o 0, 50 wynosi 0, 90-0, 50 = 0, 40. Z normalnej tabeli dystrybucji stwierdziliśmy, że odpowiednia wartość 0, 40 wynosi 1, 28. Innymi słowy, wartość Z wynosi 1, 28.

Dlatego też wprowadzanie znanych wartości Z = T _S -T _E / SD = T _S -28 / 2, 61 = 1, 28.

lub, T _s = 28 + 2, 61 x 1, 28

= 28 + 3, 34

= 31, 34 tygodnia.

Możemy powiedzieć z poziomem ufności 90%, że projekt może zostać ukończony w ciągu 31-34 tygodni.

Podsumowanie Uwaga:

Uważamy, że techniki stosowane w CPM i PERT są prawie takie same na początek, z wyjątkiem tego, że:

1. PERT sugeruje szerszy zakres oceny czasu trwania działalności, od optymizmu do pesymizmu; i

2. PERT rozciąga się, aby ustalić prawdopodobieństwo (zgodnie z teorią statystyczną) opracowanego czasu trwania projektu.

Warto tutaj nadmienić, że biorąc pod uwagę zbyt wiele założeń szacunków czasowych, błędy w takich założeniach mogą kumulować się w procesie mieszania, który, zauważony przez eksperta od zarządzania, może sięgać nawet około 33 procent.