Normalna krzywa prawdopodobieństwa w statystykach
Po przeczytaniu tego artykułu dowiesz się o: - 1. Obliczeniu normalnej krzywej prawdopodobieństwa 2. Charakterystyce normalnej krzywej prawdopodobieństwa .
Obliczanie normalnej krzywej prawdopodobieństwa:
Jeśli rzut monetą jest nieobciążony, spadnie albo na głowę (H), albo na ogon (T). To prawdopodobieństwo pojawienia się głowy to jedna szansa na dwie. Tak więc współczynnik prawdopodobieństwa H wynosi ½, a T to ½.
Podobnie będziemy rzucać dwie monety, monetę x i monetę y są cztery możliwe sposoby upadku.
Tak więc cztery możliwe drogi to: zarówno x, jak i y mogą spaść H, x może spaść T i y H, x może spaść H i yT lub oba mogą spaść T.
Wyrażone w stosunkach
Prawdopodobieństwo dwóch głowic = ¼
Prawdopodobieństwo dwóch ogonów = ¼
Prawdopodobieństwo jednego H i jednego T = ¼
Prawdopodobieństwo jednego T i jednego H = ¼
Zatem stosunek wynosi ¼ + ½ + ¼ = 1.00
Oczekiwany wygląd głów i ogonów dwóch monet można wyrazić jako:
(H + T) 2 = H 2 + 2HT + T2
Jeśli zwiększymy liczbę monet do trzech, tj. X, y i Z, może być osiem możliwych rozwiązań.
Oczekiwany wygląd głów i ogonów monet można wyrazić jako:
W ten sposób możemy określić prawdopodobieństwo różnych kombinacji głów i ogonów dowolnej liczby monet. Możemy uzyskać prawdopodobieństwo dowolnej liczby monet przez dwumianową ekspansję. Wyrażenie zawierające dwa pojęcia nazywa się wyrażeniem dwumianowym. Twierdzenie dwumianowe jest formułą algebraiczną, która rozszerza potęgę dwumianowej ekspresji w postaci szeregu.
Formuła brzmi tak:
(H + T) n = C (n, 0) Hn + C (n, 1) Hn-1 T + C (n, 2) H ( n-2) T2 ....
... + C (n, r) H nr T r + .... + C (n, n) T n ... (11.1)
Gdzie C = Możliwe kombinacje.
C (n, r) = n! / R! (n - r)!
n! oznacza 1 x 2 x 3 x .... xn
n = Łączna liczba obserwacji lub osób.
r = Liczba obserwacji lub osób wziętych na raz.
Tak więc dwumianowa ekspansja
Jeśli powyższe dane zostaną naniesione na wykresie jako histogram i wielobok częstotliwości, będzie on jak poniżej (rys. 11.1)
Tak więc liczba uzyskana z rzutu 10 monet (H + T) 10 jest symetrycznym wielobocznym wielokątem.
A jeśli zwiększymy liczbę monet, to przy każdym powiększeniu wielokąt będzie miał idealnie gładką linię na rysunku-11.2 podanym poniżej:
Ta krzywa w kształcie dzwonu nazywa się "normalną krzywą prawdopodobieństwa". Zatem "wykres funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego jest ciągłą krzywą w kształcie dzwonu, symetryczną względem średniej" nazywaną normalną krzywą prawdopodobieństwa.
W statystykach jest to ważne, ponieważ:
(а) Jest to rozkład wielu naturalnie występujących zmiennych, takich jak inteligencja uczniów klas 8, wzrost 10 uczniów itp.
(b) Rozmieszczenie środków próbek pobranych od większości populacji rodzicielskich jest normalne lub przybliżone, więc gdy próbki są wystarczająco duże.
Dlatego też normalna krzywa ma wielkie znaczenie w naukach społecznych i naukach behawioralnych. W pomiarze behawioralnym większość aspektów jest zbliżona do rozkładu normalnego. Aby jako krzywą odniesienia wykorzystano normalną krzywą prawdopodobieństwa lub najbardziej popularną znaną jako NPC. Aby zrozumieć użyteczność NPC, musimy zrozumieć właściwości NPC.
Charakterystyka normalnej krzywej prawdopodobieństwa:
Niektóre z głównych cech normalnej krzywej prawdopodobieństwa są następujące:
1. Krzywa jest obustronnie symetryczna.
Krzywa jest symetryczna względem jej rzędnej środkowego punktu krzywej. Oznacza to, że rozmiar, kształt i nachylenie krzywej po jednej stronie krzywej jest identyczne z drugą stroną krzywej. Jeżeli krzywa jest podzielona na pół, to prawa strona jest całkowicie dopasowana do lewej strony.
2. Krzywa jest asymptotyczna:
Normalna krzywa prawdopodobieństwa zbliża się do osi poziomej i rozciąga się od-∞ do + ∞. Oznacza, że skrajne końce krzywej mają tendencję do dotykania linii bazowej, ale nigdy jej nie dotykają.
Jest to przedstawione na rysunku (11.3) podanym poniżej:
3. Średnia, mediana i tryb:
Średnia, mediana i tryb spadają w punkcie środkowym i są liczbowo równe.
4. Punkty przegięcia występują przy ± 1 odchylenie standardowe:
Punkty napływu w NPC występują przy ± 1σ do jednostki powyżej i poniżej średniej. W tym momencie krzywa zmienia się z wypukłego na wklęsły w stosunku do osi poziomej.
5. Całkowity obszar NPC jest podzielony na ± standardowe odchylenia:
Suma NPC jest podzielona na sześć standardowych jednostek odchylenia. Od centrum dzieli się na trzy + ve "odchylenia standardowe i trzy na" odchylenie standardowe ".
Zatem ± 3σ NPC obejmuje osobno inną liczbę przypadków. Pomiędzy ± 1σ leżą środkowe 2/3 przypadki lub 68, 26%, między ± 2σ leżą 95, 44% przypadków i między ± 3σ leżą 99, 73% przypadków i powyżej + 3σ tylko 0, 37% przypadków spada.
6. Oś Y reprezentuje wysokość Normalnej Krzywej Prawdopodobieństwa:
Wiersz Y NPC reprezentuje wysokość krzywej. W środku występuje maksymalna rzędna. Wysokość krzywej w punkcie środkowym lub środkowym jest oznaczana jako Y 0 .
W celu ustalenia wysokości krzywej w dowolnym punkcie używamy następującej formuły:
7. Jest unimodalny:
Krzywa ma tylko jeden punkt szczytowy. Ponieważ maksymalna częstotliwość występuje tylko w jednym punkcie.
8. Wysokość krzywej symetrycznie spada:
Wysokość krzywej maleje zarówno w kierunku symetrycznie od punktu centralnego. Oznacza M + σ, a M - σ są równe, jeśli odległość od średniej jest równa.
9. Średnia NPC to μ, a standardowe odchylenie to σ:
Ponieważ średnia z NPC reprezentuje średnią populacji, więc jest reprezentowana przez μ (Meu). Standardowe odchylenie krzywej reprezentowane jest przez grecką literę σ.
10. W normalnej krzywej prawdopodobieństwa odchylenie standardowe jest o 50% większe niż Q:
W NPC Q jest ogólnie nazywane prawdopodobnym błędem lub PE.
Związek między PE a a można określić w następujący sposób:
1 PE = .6745σ
1σ = 1.4826PE.
11. Q może być użyta jako jednostka miary przy wyznaczaniu obszaru w obrębie danej części:
12. Średnie odchylenie dotyczące średniej NPC wynosi 0, 798σ:
Istnieje stała zależność pomiędzy odchyleniem standardowym a średnim odchyleniem w NPC.
13. Rzędna modelu zmienia się coraz bardziej w stosunku do odchylenia standardowego:
Na krzywej normalnego prawdopodobieństwa rzędna modalna zmienia się coraz bardziej w stosunku do odchylenia standardowego. Standardowe odchylenie krzywej normalnej prawdopodobieństwa wzrasta, a rzędna modalna maleje i vice versa.
Zastosowania normalnej krzywej prawdopodobieństwa:
Niektóre z najważniejszych zastosowań normalnej krzywej prawdopodobieństwa są następujące:
Zasady normalnej krzywej prawdopodobieństwa są stosowane w naukach behawioralnych w wielu różnych dziedzinach.
1. NPC służy do określania procentu przypadków w rozkładzie normalnym w danych granicach:
Krzywa prawdopodobieństwa normalnego pomaga nam określić:
ja. Jaki procent przypadków przypada między dwoma punktami rozkładu.
ii. Jaki procent wyników znajduje się powyżej określonego wyniku dystrybucji.
iii. Jaki procent wyników znajduje się poniżej określonego wyniku dystrybucji.
Przykład:
Biorąc pod uwagę rozkład wyników ze średnią 24 i σ 8. Przyjmując normalność, jaki procent przypadków spadnie między 16 a 32.
Rozwiązanie:
Tutaj przede wszystkim musimy przekonwertować wyniki 16 i 32 na standardowy wynik.
Wprowadzając do tabeli A, obszar tabel pod NPC, okazuje się, że 34, 13 przypadków mieści się pomiędzy wartościami średnimi, a - 1σ i 34, 13 przypadków mieści się między wartościami średnimi a + 1σ. Więc ± σ obejmuje 68, 26% przypadków. Tak więc 68, 25% spraw spadnie między 16 a 32.
Przykład:
Biorąc pod uwagę rozkład wyników o średniej 40 i σ 8. Przyjmując normalność, jaki procent przypadków będzie leżeć powyżej i poniżej wyniku 36.
Rozwiązanie:
Przede wszystkim musimy przekonwertować surowy wynik 36 na standardowy wynik.
Wchodząc w tabelę-A, obszar tabel pod NPC okazuje się, że 19, 15% przypadków mieści się pomiędzy średnimi a -.5σ. Dlatego całkowity odsetek przypadków powyżej wyniku 36 wynosi 50 + 19, 15 = 69, 15%, a poniżej wyniku 36 wynosi 50-19.15 = 30.85%. Tak więc w dystrybucji 69, 15% przypadków jest powyżej wyniku 36, a 30, 85% punktów jest poniżej wyniku 36.
2. NPC służy do określenia wartości wyniku, którego randkowa ranga jest podana:
Korzystając z tabeli NPC, możemy określić surowy wynik danej osoby, jeśli podana jest ranga percentyla.
Przykład:
W rozkładzie wyników dossa Różowa percentyl w statystykach wynosi 65. Średnia rozkładu wynosi 55 z odchyleniem standardowym 10. Znajdź, ale surowy wynik Pinky w statystykach.
Rozwiązanie:
Jako że percentyl Pinky'ego ma 65 punktów, w normalnym rozkładzie jego pozycja jest o 35% wyższa od średniej. Wprowadzając do tabeli "A" stwierdziliśmy, że 35% od średniej wynosi +1, 04 σ.
Poprzez umieszczenie wartości w wyniku "Z".
3. NPC służy do znajdowania limitów w rozkładzie normalnym, które obejmują określony procent przypadków:
Kiedy rozkład jest normalnie dystrybuowany, a wiemy, że rozkład jest średni, a odchylenie standardowe w tym czasie, używając obszaru tabel pod NPC, możemy określić granice, które obejmują dany procent przypadków.
Przykład:
Biorąc pod uwagę rozkład wyników ze średnią 20 i σ z 5. Jeśli przyjmiemy normalność, jakie ograniczenia będą obejmować środkowe 75% przypadków.
Rozwiązanie:
W normalnym rozkładzie średnie 75% przypadków obejmuje 37, 5% przypadków powyżej średniej i 37, 5% przypadków poniżej średniej. Z tabeli A można stwierdzić, że 37, 5% przypadków obejmuje 1, 15 jednostki σ. Zatem średnie 75% przypadków mieści się pomiędzy średnimi a ± 1, 15 σ jednostek.
W tym przypadku średnie 75% przypadków będzie zawierać ograniczenia od 14, 25 do 25, 75.
4. Służy do porównywania dwóch dystrybucji pod względem nakładania się:
Jeśli wyniki dwóch grup na danej zmiennej są normalnie dystrybuowane. To, co wiemy o grupie, to średnia i odchylenie standardowe obu grup. Chcemy wiedzieć, jak bardzo pierwsza grupa przekroczyła drugą grupę lub na odwrót, możemy to ustalić za pomocą obszaru tabel pod NPC.
5. NPC pomaga nam w dzieleniu grupy na podgrupy według określonej zdolności i przypisywania ocen:
Kiedy chcemy podzielić dużą grupę na pewne podgrupy według określonej zdolności w tym czasie, używamy standardowych jednostek odchylenia NPC jako jednostek skali.
Przykład:
Egzamin praktyczny został przyznany 600 uczniom 8 klasy. Nauczyciel chce przypisać tych uczniów do 4 klas, a mianowicie A, B, C i D, zgodnie z ich wynikami w teście. Przyjmując normalność rozkładu wyników, można obliczyć liczbę uczniów w każdej grupie.
Rozwiązanie:
Obszar pod NPC jest podzielony na jednostki ± 3σ lub jednostki 6σ.
Tutaj musimy podzielić uczniów na 4 sekcje.
Tak więc każda sekcja ma
Więc jeśli rozdzielimy sekcję według kryterium zasług.
Przekrój-A będzie w zakresie od 1, 5σ do 3σ
Sekcja B będzie w granicach średniej do 1, 5σ
Sekcja C będzie w zakresie średniej do -1.5σ
a sekcja D będzie z -1, 5σ do - 3σ.
6. NPC pomaga określić względną trudność przedmiotów testowych lub problemów:
Kiedy wiadomo, że jaki procent studentów z powodzeniem rozwiązał problem, możemy określić poziom trudności przedmiotu lub problemu, korzystając z obszaru tabel pod NPC.
7. NPC jest przydatny do znormalizowania rozkładu częstotliwości:
W celu normalizacji rozkładu częstotliwości używamy Normalnej Krzywej Prawdopodobieństwa. W procesie standaryzacji testu psychologicznego proces ten jest bardzo potrzebny.
8. Aby przetestować znaczenie obserwacji eksperymentów używamy NPC:
W eksperymencie testujemy zależność między zmiennymi, czy są one spowodowane przypadkowymi fluktuacjami, czy błędami procedury pobierania próbek, czy jest to rzeczywisty związek. Odbywa się to za pomocą obszaru tabel pod kontrolą NPC.
9. NPC służy do generalizowania populacji z próbki:
Obliczamy błąd standardowy średniej, błąd standardowy odchylenia standardowego i inne statystyki, aby uogólnić populację, z której pobrano próbkę. Do tego obliczenia używamy obszaru tabel pod NPC.
